Задача 108748

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Дан отрезок AB и прямая MN, пересекающая его. Построить треугольник ABC так, чтобы прямая MN делила его угол пополам.

Решение

  Пусть дан отрезок AB, пересекающая его прямая MN и построен треугольник ABC, в котором прямая MN есть биссектриса угла C (см. рис.). Тогда, опустив из точки A перпендикуляр AD на прямую MN и продолжив его до пересечения с прямой BC в точке B₁, получим, что  AD = DB₁,  где D – точка пересечения прямых AB₁ и MN.
  Отсюда вытекает построение: из точки A опускаем перпендикуляр AD на прямую MN и продолжаем его на расстояние  DB₁ = AD.  Точку B₁ соединяем с точкой B и продолжаем до пересечения с прямой MN в точке C.

Замечания

Тот же треугольник получится, если построение начать с опускания перпендикуляра на MN из точки B. Из анализа также видно, что в общем случае получится единственное решение; если же прямая MN перпендикулярна к AB и проходит через его середину, то имеем бесчисленное множество решений. Если прямая MN проходит через один из концов отрезка AB или не через его середину перпендикулярно к нему, или через его середину, но не перпендикулярно к нему, то решений нет.