Задача 108665

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Четырехугольники (прочее) ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD равны. Кроме того,  ∠BAC = ∠ADB,  ∠CAD + ∠ADC = ∠ABD.  Найдите угол BAD.

Подсказка

На продолжении стороны CD за точку C отложите отрезок  CF = AB.

Решение

  На продолжении стороны CD за точку C отложим отрезок  CF = AB.  Тогда  ∠ACF = ∠CAD + ∠ADC = ∠ABD.  Поэтому треугольники ACF и DBA равны по двум сторонам и углу между ними. Значит,  ∠CAF = ∠ADB = ∠BAC.
  Следовательно, точки A, B и F лежат на одной прямой. Кроме того,  AF = AD  и ∠AFC = ∠BAD.  Значит,  AD = DF.  Таким образом,  AF = AD = DF,  то есть треугольник AFD – равносторонний. Поэтому  ∠BAD = 60°.

Ответ

60°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4491