Задача 108619

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точка D взята на медиане BM треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB, а через точку C – прямая, параллельная медиане BM. Две проведённые прямые пересекаются в точке E. Докажите, что  BE = AD.

Подсказка

Через точку M проведите прямую, параллельную DE.

Решение

Пусть прямая, проходящая через точку M параллельно DE, пересекает прямую CE в точке F. Тогда четырёхугольник MDEF – параллелограмм, поэтому
MF = DE.  Треугольник MFC равен треугольнику ABM по стороне и двум прилежащим к ней углам. Значит,  AB = MF = DE,  а так как   AB || DE, то ABED – также параллелограмм. Следовательно,  BE = AD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4435