ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Задача 108246
УсловиеНа стороне AB треугольника ABC выбрана точка D . Окружность, описанная около треугольника BCD , пересекает сторону AC в точке M , а окружность, описанная около треугольника ACD , пересекает сторону BC в точке N (точки M и N отличны от точки C ). Пусть O – центр описанной окружности треугольника CMN . Докажите, что прямая OD перпендикулярна стороне AB .РешениеРис. 1 Из условия задачи следует, что четырёхугольник ACND – вписанный, причём точки N и D лежат по одну сторону от прямой AC , поэтому Четырёхугольники ADNC и BDMC – вписанные, поэтому Значит, поэтому т.е. четырёхугольник DMON также вписан в некоторую окружность. Вписанные углы ODM и ODN этой окружности опираются на равные хорды OM и ON (радиусы описанной окружности треугольника MCN ), значит, они равны. Тогда а т.к. углы ADO и BDO – смежные, то каждый из них равен 90o . Следовательно, OD Рис. 2 Второй способ. Пусть m1 , m2 , l1 , l2 – серединные перпендикуляры к отрезкам CN , CB , CM и CA сооответственно, O = m1 l1 , O1 = m1 l2 , O2 = m2 l1 , O3 = m2 l2 – центры окружностей, описанных около треугольников CMN , ANC (и ADC ), BMC (и BDC ), ABC (рис.2). Спроектируем точки O , O1 , O2 и O3 на AB . Пусть K , P , Q и R – их проекции. Поскольку OO1O3O2 – параллелограмм, то Отсюда Источники и прецеденты использования |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |