Задача 108225

Темы:    [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 5- Классы: 8,9

Условие

Автор: Акопян А.В.

В остроугольном треугольнике проведены высоты AA' и BB'. На дуге ACB описанной окружности треугольника ABC выбрана точка D. Пусть прямые AA' и BD пересекаются в точке P, а прямые BB' и AD пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Решение

  Пусть, для определённости, точка D лежит на дуге BC, не содержащей точку A. Обозначим через H – точку пересечения высот треугольника ABC, а через H_A и H_B – вторые точки пересечения прямых AH и BH с окружностью (см. рис.).

  Поскольку точка, симметричная ортоцентру относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности (см. задачу 55463), то  HA' = A'H_A  и  HB' = B'H_B.  Прямоугольный треугольник H_AA'B равен треугольнику HA'B, а треугольник HA'B подобен треугольнику HB'A, значит, треугольники H_AA'B и HB'A подобны.
  Из равенств  ∠B'AQ = ∠CAD = ∠CBD = ∠A'BP  следует, что отрезки AQ и BP являются соответствующими в подобных треугольниках HB'A и H_AA'B, поэтому  B'Q : B'H = A'P : A'H_A.
.   Пусть прямая, проходящая через точку Q параллельно A'B', пересекает прямую AA' в точке S. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках
A'S : A'H = B'Q : B'H = A'P : A'H_A = A'P : A'H.
  Значит,  A'S = A'P,  то есть A' – середина SP, а так как  A'B' || QS,  то прямая A'B' проходит через середину отрезка PQ.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6572
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	10
задача
Номер	05.5.10.6
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2005
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	05.5.9.7