В алфавите племени Мумбу-Юмбу есть лишь две буквы A и Б. Два разных слова обозначают одно и то же понятие, если одно из них может быть получено из другого с помощью следующих операций:
  1) в любом месте слова комбинацию букв АБА можно заменить на БАБ;
  2) из любого места можно выкидывать две одинаковые буквы, идущие подряд.
  а) Может ли дикарь племени сосчитать все пальцы на своей руке?
  б) А дни недели?

   Решение

Темы:    [ Диаметр, основные свойства ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ] [ Параллелограммы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан параллелограмм ABCD  (AB < BC).  Докажите, что описанные окружности треугольников APQ для всевозможных точек P и Q, выбранных на сторонах BC и CD соответственно так, что  CP = CQ,  имеют общую точку, отличную от A.

Решение

Центр окружности, описанной около каждого из треугольников APQ, лежит на серединном перпендикуляре l к отрезку PQ. Поскольку все треугольники PCQ – равнобедренные  (CP = CQ),  то l – биссектриса угла PCQ, то есть угла C. Окружность симметрична относительно каждого своего диаметра, поэтому точка A', симметричная точке A относительно прямой l, лежит на описанной окружности каждого из треугольников APQ. Итак, все указанные окружности проходят через точку A'.

Источники и прецеденты использования