ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108189
Темы:    [ Теорема синусов ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Две окружности радиусов R и r касаются прямой l в точках A и B и пересекаются в точках C и D . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника ABC не зависит от длины отрезка AB .

Решение

Обозначим CAB= α , CBA = β . Если ρ – радиус описанной окружности треугольника ABC , то по теореме синусов

AC=2R sin α =2ρ sin β, BC=2r sin β =2ρ sin α.

Перемножив почленно эти равенства, получим, что
ρ2 sin α sin β = Rr sin α sin β.

Следовательно, ρ = , т.е. радиус описанной окружности треугольника ABC зависит только от R и r .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6536
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1995
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 95.4.9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .