Задача 108184

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Сонкин М.

В равнобедренном треугольнике ABC  (AC = BC)  точка O – центр описанной окружности, точка I – центр вписанной окружности, а точка D на стороне BC такова, что прямые OD и BI перпендикулярны. Докажите, что прямые ID и AC параллельны.

Решение

  Если данный треугольник равносторонний (точки O и I совпадают), то утверждение очевидно.
  Проведём высоту CE. Пусть точка O лежит между точками I и C  (∠B > 60°),  а прямые OD и BI пересекаются в точке K. Положим  ∠B = ∠A = 2α.  Тогда  ∠EBI = ∠DBI = α,  BIE = 90° – α = ∠BDK,  ∠BIO = 180° – ∠BIE = 90° + α.

  Сумма противоположных углов BIO и BDO четырёхугольника KDBO равна 180°, то есть он – вписанный. Вписанные углы BDI и BOI его описанной окружности равны. Кроме того, BOI – внешний угол равнобедренного треугольника BOC. Значит,  ∠BDI = ∠BOI = 2∠BCE = 180° – 4α = ∠DCA.  Следовательно, DI || AC .
  Случай, когда точка I лежит между точками O и C  (∠B < 60°)  разбирается аналогично.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6531
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	1996
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	9
задача
Номер	96.5.9.6