ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108180
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Сонкин М.

Точки O1 и O2 – центры описанной и вписанной окружностей равнобедренного треугольника ABC  (AB = BC).  Описанные окружности треугольников ABC и O1O2A, пересекаются в точках A и D. Докажите, что прямая BD касается описанной окружности треугольника O1O2A.


Решение

Пусть BM – высота треугольника ABC,  ∠A = ∠C = 2α.  Тогда  ∠BAO1 = ∠ABO1 = 90° – 2α,  ∠AO2O1 = 90° + α.  Так как четырёхугольник ADOO11OO12 – вписанный, то  ∠ ADO1 = 180° – ∠AO2O1 = 90° – α.
  Треугольник AO1D – равнобедренный, поэтому  ∠DAO1 = 2α.
  Кроме того,  ∠ABD = ½ ∠AO1D = α.
  Значит,  ∠BDO1 = ∠DBO1 = ∠ABD + ∠ABO1 = α + (90° – 2α) = 90° – α.
  Таким образом,  ∠BDO1 = ∠DAO1,  то есть BD – касательная к указанной окружности.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6527
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1997
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 97.4.10.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .