ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108165
Темы:    [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ ГМТ и вписанный угол ]
[ ГМТ - окружность или дуга окружности ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
[ Против большей стороны лежит больший угол ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Точка O лежит внутри ромба ABCD . Угол DAB равен 110o . Углы AOD и BOC равны 80o и 100o соответственно. Чему может быть равен угол AOB ?

Решение

Заметим, что геометрическое место точек O , из которых отрезок AD виден под углом 80o , и лежащих по ту же сторону от AD , что и точка B , – это дуга окружности, проходящей через точки A и D , а геометрическое место точек O , из которых отрезок BC виден под углом 100o , и лежащих по ту же сторону от BC , что и точка A , – это дуга окружности, проходящей через точки B и C . Искомая точка O должна лежать на пересечении этих двух дуг. Следовательно, таких точек может быть не более двух. Укажем две точки, удовлетворяющие условию задачи. Первая точка O1 лежит на диагонали AC , причём BO1C = 100o . Тогда

AO1B = 180o - BO1C = 80o,

а т.к. точка D симметрична точке B относительно прямой AC , то
AO1D = AO1B = 80o,

что и требуется в условии. Аналогично, вторая точка O2 лежит на диагонали BD , причём BO2C = 100o . В этом случае AO2D = 80o и AO2B = 100o . Осталось заметить, что точки O1 и O2 различны (они лежат на разных диагоналях ромба и отличны от точки пересечения диагоналей) и обе лежат внутри ромба.


Ответ

80o или 100o .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6512
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 61
Год 1998
вариант
Класс 9
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .