Задача 108161

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Измерение длин отрезков и мер углов. Смежные углы. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

В треугольнике ABC точки A', B', C' лежат на сторонах BC, CA и AB соответственно. Известно, что  ∠AC'B' = ∠B'A'C,  ∠CB'A' = ∠A'C'B,  ∠BA'C' = ∠C'B'A.  Докажите, что точки A', B', C' – середины сторон треугольника ABC.

Подсказка

Докажите, что четырёхугольники AB'A'C' и BA'B'C' – параллелограммы.

Решение

Углы AC'A' и AB'A' равны, так как дополняют до 180° равные углы CB'A' и A'C'B. Углы B'AC' и B'A'C' равны, так как дополняют до 180° равные суммы  ∠C'B'A + ∠AC'B'  и  ∠BA'C' + ∠B'A'C.  Значит, AB'A'C' – параллелограмм. Следовательно,  AC' = B'A'.  Аналогично  C'B = B'A'.  Поэтому  AC' = C'B,  то есть C' – середина AB. Для точек B' и A' доказательство аналогично.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4364
олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год	1998
Название	конкурс по математике
Задача
Номер	2
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1998/1999
Номер	20
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	3