ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108152
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Биссектриса угла ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC  (AB > BC)  касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно, RS – средняя линия, параллельная стороне AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что точка T лежит на биссектрисе угла B треугольника ABC.


Решение

  Пусть  BC = a,  AC = b,  AB = c,  полупериметр треугольника ABC равен p, а точки R и S лежат на сторонах AC и BC соответственно. Тогда  CQ = p – c,
CR = b
/2QR = b/2 – ½ (a + b – c) = ½ (c – a).
  Поскольку  SR || AB,  то  ∠RQT = ∠AQP = ∠APQ = ∠RTQ,  значит, треугольник RQT – равнобедренный:  RT = QR = ½ (c – a).  Следовательно,
ST = RS – RT = b/2 – ½ (c – a) = a/2 = SB,  то есть треугольник BST – равнобедренный. Значит,  ∠SBT = ∠BTS = ∠PBT.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 1999
вариант
Класс 9
задача
Номер 5
web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6502

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .