ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108141
Темы:    [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На большей стороне AC треугольника ABC взята точка N так, что серединные перпендикуляры к отрезкам AN и NC пересекают стороны AB и BC в точках K и M соответственно. Докажите, что центр O описанной окружности треугольника ABC лежит на описанной окружности треугольника KBM.


Решение

  Пусть P и Q – середины сторон AB и BC соответственно, P1, K1, Q1, M1, B1 – проекции точек P, K, Q, M, B на сторону AC. Поскольку P1 – середина AB1, а Q1 – середина CB1, то  P1Q1 = ½ AB1 + ½ CB1 = ½ AC.
  Поскольку K1 – середина AN, а M1 – середина CN, то  K1M1 = ½ AN + ½ CN = ½ AC = P1Q1.
  Поэтому, если точка K ближе к вершине B, чем точка P, то точка Q ближе к B, чем точка M. Поскольку  OPAB  и  OQBC,  то  ∠POQ = 180° – ∠B.

  Таким образом, утверждение задачи равносильно равенству  ∠KOM = ∠POQ.  С учётом установленного расположения точек, достаточно доказать, что
POK = ∠QOM,  что равносильно подобию прямоугольных треугольников OPK и OQM.
  Пусть  ∠A = α,  ∠C = γ.  Поскольку P1K1 и Q1M1 – проекции отрезков PK и QM на прямую AC, то  P1K1 = PK cos α,  Q1M1 = QM cos γ,  а так как
P1Q1 = K1M1,  то  P1K1 = Q1M1,  и  PK : QM = cos γ : cos α.
  С другой стороны,  ∠BOP = ½ ∠AOB = γ.  Если R – радиус описанной окружности треугольника ABC, то  OP = R cos γ,  OQ = R cos α.  Поэтому
OP : OQ = PK : OM.
  Следовательно, треугольники OPK и OQM подобны.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6491
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2001
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 9
задача
Номер 01.5.9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .