ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108081
Темы:    [ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Отрезки AB и CD лежат на двух сторонах угла BOD (A лежит между O и B, C – между O и D). Через середины отрезков AD и BC проведена прямая, пересекающая стороны угла в точках M и N (M, A и B лежат на одной стороне угла; N, C и D – на другой). Докажите, что
OM : ON = AB : CD.


Подсказка

Достройте треугольник ACD до параллелограмма ACDE.


Решение

Пусть P – середина отрезка BC, Q – середина AD. На продолжении отрезка CQ за точку Q отложим отрезок QE, равный CQ. Тогда AEDC – параллелограмм, а точка Q – его центр. Поскольку PQ – средняя линия треугольника BCE, то  PQ || BE,  а значит,  MN || BE.  Кроме того,  AE || ON,  поэтому треугольники ABE и OMN подобны. Следовательно,  OM : ON = AB : AE = AB : CD.

Замечания

1. Можно также применить теорему Менелая к треугольникам OAD и OBC.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4361
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1997/1998
Номер 19
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .