ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108073
Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Признаки подобия ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Фольклор

Заданы две непересекающиеся окружности с центрами O1 и O2 и их общая внешняя касательная, касающаяся окружностей соответственно в точках A1 и A2. Пусть B1 и B2 – точки пересечения отрезка O1O2 с соответствующими окружностями, а C – точка пересечения прямых A1B1 и A2B2. Докажите, что прямая, проведённая через точку C перпендикулярно B1B2, делит отрезок A1A2 пополам.


Решение

Восставим из точки B1 перпендикуляр к B1B2 до пересечения с A1A2 в некоторой точке E1. Этот перпендикуляр является касательной к первой окружности, поэтому треугольник B1E1A1 – равнобедренный. Перпендикуляр CD, о котором идет речь в условии, параллелен B1E1, поэтому треугольник CDA1 подобен треугольнику B1E1A1 (см. рис.) и тоже равнобедренный,  CD = DA1.  Аналогично  CD = DA2.

Замечания

1. Разумеется, убедиться в том, что треугольники CDA1 и CDA2 равнобедренные, можно простым подсчетом углов.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4353
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1995/1996
Номер 17
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .