ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 108062
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона AB треугольника ABC равна c. На стороне AB взята такая точка M, что  ∠CMA = φ.
Найдите расстояние между ортоцентрами треугольников AMC и BMC.


Решение

  Пусть Da и Db – проекции ортоцентров Ha и Hb треугольников AMC и BMC на прямую CM (см. рис.).

  Точки Ha и Hb лежат лежат на перпендикуляре, опущенном из C на прямую AB. Отрезок DaDb – проекция отрезка AB на прямую CM, а так как угол между прямыми AB и CM равен φ или  180° – φ,  то  DaDb = AB |cos φ| = c |cos φ|.
  С другой стороны, отрезок DaDb – проекция отрезка HaHb на прямую CM, а так как угол между прямыми HaHb и CM равен  90° – φ  или  90° + φ,  то  


Ответ

c |ctg φ|.

Замечания

3 балла

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4342
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 1992/1993
Номер 14
вариант
Вариант весенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .