Задача 107848

Темы:    [ Отношение порядка ] [ Последовательности (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Некоторые из чисел a₁, a₂, ..., a₂₀₀ написаны синим карандашом, а остальные — красным. Если стереть все красные числа, то останутся все натуральные числа от 1 до 100, записанные в порядке возрастания. Если же стереть все синие числа, то останутся все натуральные числа от 100 до 1, записанные в порядке убывания. Докажите, что среди чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀ содержатся все натуральные числа от 1 до 100 включительно.

Решение

  Предположим, что среди чисел a₁, a₂, ..., a₁₀₀ содержится k синих и, соответственно, 100 - k красных. Так как синие числа записаны в порядке возрастания, эти k синих чисел суть числа от 1 до k включительно. Аналогично, 100 - k красных чисел — числа 100, 99, ..., k + 1. Значит, все числа от 1 до 100 встречаются среди a₁, a₂, ..., a₁₀₀.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	61
Год	1998
вариант
Класс	8
задача
Номер	4