ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 107757
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Две окружности пересекаются в точках A и B. В точке A к обеим проведены касательные, пересекающие окружности в точках M и N. Прямые BM и BN пересекают окружности еще раз в точках P и Q (P – на прямой BM, Q – на прямой BN). Докажите, что отрезки MP и NQ равны.


Решение 1

  Пусть окружности расположены как на рисунке.

  По теореме о вписанных углах  ∠APM = ∠ANQ  и  ∠AQN = ∠AMP,  следовательно, треугольники AQN и AMP подобны.
  При этом  ∠MAN = ∠BAM + ∠BAN = ∠ANB + ∠BAN = ∠ABQ.  Поэтому ⌣AQ = 2∠ABQ = 2∠MAN = ⌣ABM.  Значит, равны и хорды AQ и AM. Поэтому треугольники AQN и AMP не только подобны, но и равны, и  MP = NQ.


Решение 2

  По теореме о секущей и касательной  MP = AM²/MBNQ = AN²/NB,  то есть достаточно доказать, что  AM² : AN² = MB : NB.   (*)
  Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что треугольники AMB и NAB подобны (см. рис.). Значит,  AM : AN = AB : NB
и  AM : AN = MB : AB.  Перемножая, получаем равенство (*).

Замечания

1. Если центр одной из окружностей расположен внутри другой, то картинка меняется. Если центр каждой из окружностей находится внутри другой, то получается третья картинка. В этих случаях в решении 1 вместо равенства углов ABQ и MAN нужно доказать, что эти углы составляют в сумме 180°. Решение 2 остаётся без изменений.

2. 3 балла.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4277
журнал
Название "Квант"
год
Год 1994
выпуск
Номер 4
Задача
Номер М1442
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 57
Год 1994
вариант
Класс 9
задача
Номер 4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 15
Дата 1993/1994
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .