Задача 105182

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Неравенство треугольника (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Блинков А.Д.

Существует ли тетраэдр, все грани которого — равные прямоугольные треугольники?

Решение

  Предположим, что такой тетраэдр ABCD существует (см. рис.). Пусть AB – гипотенуза треугольника ABC. Тогда AB является также и гипотенузой треугольника ABD.

  Следовательно, CD – гипотенуза треугольников ACD и BCD. Середину ребра CD обозначим через M. Так как треугольники ACD и BCD прямоугольные,
AM = BM = ½ CD = ½ AB,  то есть  AB = AM + MB.
  Значит, точки A, M и B лежат на одной прямой, а точки A, B, C и D – в одной плоскости. Противоречие.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	67
Год	2004
вариант
Класс	10
задача
Номер	2