ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105172
Темы:    [ Задачи на проценты и отношения ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Курс акций компании "Рога и копыта" каждый день в 12.00 повышается или понижается на n%, где n – фиксированное натуральное число, меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли n, для которого курс акций может дважды принять одно и то же значение?


Решение

  Заметим, что при повышении курса акций он умножается на  1 + n/100,  а при понижении – на  1 – n/100.  Если курс повторился после k повышений и l понижений, то  (100 + n)k(100 – n)l = 100k+l.
  Так как правая часть чётна, то и левая часть должна быть чётна, значит, n чётно. По той же причине n кратно 5, то есть  n = 10m.  Подставив и сократив, получим  (10 + m)k(10 – m)l = 10k+l.  Аналогично докажем, что m кратно 10, поэтому n делится на 100. Противоречие.


Ответ

Не существует.

Замечания

Баллы: 8-9 кл.   5, 10-11 кл.   4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер 3
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 67
Год 2004
вариант
Класс 8
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .