ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105170
Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ]
[ Равносоставленные фигуры ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Трапеции (прочее) ]
[ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

Решение

Нужное разрезание изображено на рис. Этот пример можно придумать следующим образом. Разобьем трапецию на квадрат площади 4 и треугольник площади 1. Мы видим, что площадь трапеции равна 5. Значит, и площадь искомого квадрата равна 5, поэтому его сторона равна $  \sqrt{5}$. По теореме Пифагора длину $  \sqrt{5}$ имеет гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2. Теперь уже легко придумать нужное разрезание.

Комментарий. Интересен следующий вопрос: какие отрезки можно расположить на плоскости так, чтобы их концы находились в углах клеток? Пусть длина такого отрезка равна d. Согласно теореме Пифагора, d2 -- натуральное число. Однако этого недостаточно. Например, отрезок длины $  \sqrt{3}$ так расположить не удастся -- нужно еще чтобы d2 можно было представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. По этому поводу см. комментарий к задаче 4 для 11 класса олимпиады 1996 г., а также к задаче 2 для 8 класса олимпиады 1993 г.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 67
Год 2004
вариант
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .