Задача 105170

Темы:    [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Равносоставленные фигуры ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Трапеции (прочее) ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

Автор: Латышев В.Н.

Разрежьте изображённую на рисунке трапецию на три части и сложите из них квадрат.

Решение

Нужное разрезание изображено на рис. Этот пример можно придумать следующим образом. Разобьем трапецию на квадрат площади 4 и треугольник площади 1. Мы видим, что площадь трапеции равна 5. Значит, и площадь искомого квадрата равна 5, поэтому его сторона равна . По теореме Пифагора длину  имеет гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2. Теперь уже легко придумать нужное разрезание.

Комментарий. Интересен следующий вопрос: какие отрезки можно расположить на плоскости так, чтобы их концы находились в углах клеток? Пусть длина такого отрезка равна d. Согласно теореме Пифагора, d² -- натуральное число. Однако этого недостаточно. Например, отрезок длины так расположить не удастся -- нужно еще чтобы d² можно было представить в виде суммы двух квадратов целых чисел. По этому поводу см. комментарий к задаче 4 для 11 класса олимпиады 1996 г., а также к задаче 2 для 8 класса олимпиады 1993 г.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	67
Год	2004
вариант
Класс	8
задача
Номер	2