ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105162
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Разложение на множители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для положительных чисел x, y, z выполнено равенство  x²/y + y²/z + z²/x = x²/z + y²/z + z²/y.  Докажите, что хотя бы два из чисел x, y, z равны между собой.


Решение

Равенство приводится к виду  x³z – x³y + z³y – z³x + y³x – y³z = 0.  Разложив на множители, получим  (x – y)(y – z)(z – x)(x + y + z) = 0.  Последняя скобка положительна. Таким образом, хотя бы одна из первых трёх скобок равна нулю, то есть хотя бы два числа равны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 66
Год 2003
вариант
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .