Задача 105115

Темы:    [ Геометрическая прогрессия ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Дана геометрическая прогрессия. Известно, что её первый, десятый и тридцатый члены являются натуральными числами.
Верно ли, что её двадцатый член также является натуральным числом?

Решение

  Пусть a₁, a₂, ..., a_n, ... – данная геометрическая прогрессия, q – её знаменатель. По условию a₁,  a₁₀ = a₁q⁹  и  a₃₀ = a₁q²⁹  – натуральные числа. Поэтому q⁹ и q²⁹ – положительные рациональные числа. Отсюда следует, что  q² = q²⁹(q⁹)^–3 – положительное рациональное число и  q = q⁹(q²)^–4  также положительное рациональное число.
  Пусть  q = ^m/_n,  где m и n – натуральные взаимно простые числа. Число  a₃₀ = a₁m²⁹n^–29  натуральное, m²⁹ и n²⁹ взаимно просты, следовательно, a₁ делится на n²⁹. Отсюда получаем, что  a₂₀ = a₁q¹⁹ = a₁m¹⁹n^–19  – число натуральное.

Ответ

Верно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	64
Год	2001
вариант
Класс	11
задача
Номер	2