Задача 105084

Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Анно Р.Е., Кириченко В.И.

Точки A и B взяты на графике функции y=1/x, x>0. Из них опущены перпендикуляры на ось абсцисс, основания перпендикуляров - H_A и H_B; O - начало координат. Докажите, что площадь фигуры, ограниченной прямыми OA, OB и дугой AB, равна площади фигуры, ограниченной прямыми AH_A, BH_B, осью абсцисс и дугой AB.

Решение

Можно считать, что абсцисса точки A меньше абсциссы точки B (рис. 10.1). Рассмотрим точку K пересечения отрезков AH_A и OB. Тогда разность рассматриваемых площадей равна разности площадей треугольника OAK и четырёхугольника H_AKBH_B, которая, в свою очередь, равна разности площадей треугольников OAH_A и OBH_B. А поскольку OH_A*AH_A=OH_B*BH_B=1 (вспомните, что A и B лежат на графике), эти площади равны между собой.


Рис. 10.1

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	63
Год	2000
вариант
Класс	10
задача
Номер	1