Задача 104099

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите все простые числа р, для каждого из которых существует такое натуральное число m, что    – также натуральное число.

Решение

  Пусть p нечётно, то есть  р = 2n + 1,  где n – натуральное число. Тогда условие задачи выполняется для  m = n².
  Осталось рассмотреть случай p = 2. Пусть     – натуральное число. Тогда число     а значит, и    – целое. Но  (2m + 1)² < 4(m² + 2m) < (2m + 2)²,  то есть     Противоречие.

Ответ

р – любое нечётное простое число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата	2006
класс
Класс	10
задача
Номер	4