Задача 104031

Темы:    [ Выигрышные и проигрышные позиции ] [ Ним-сумма ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

а) На столе лежат 111 спичек. Маша и Даша по очереди берут со стола по несколько спичек, но не больше десяти за один раз. Выигрывает тот, кто возьмет последнюю спичку. Кто победит при правильной игре?
б) На полу лежат три кучки - из 3, 4 и 5 спичек. Теперь Маша и Даша за один раз могут взять любое количество спичек, но только из одной кучки. Кто выиграет на этот раз?

Решение

а) Победит Маша. Для этого ей нужно первым ходом взять одну спичку, а каждым следующим своим ходом оставлять на столе число спичек, кратное одиннадцати.
б) Опять победит Маша. Первым ходом она должна взять две спички из кучки с тремя спичками (при любом другом первом ходе Даша сможет выиграть). Несложно проверить, что в таком случае независимо от действий Даши Маша выиграет. (Смотри также задачу 60915.)

Ответ

а) Маша;
б) Маша.

Источники и прецеденты использования

Кружок
Название	ВМШ 57 школы
класс
Класс	7
год
Место проведения	57 школа
Год	2005/06
занятие
Номер	10
Название	Спички как игрушки
Тема	Геометрия на клетчатой бумаге
задача
Номер	3