Задача 102853

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Периодичность и непериодичность ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

На какие простые числа, меньшие 17, делится число  2002²⁰⁰² − 1?

Решение

  Так как  2002 = 2·7·11·13,  то указанная разность (за счет вычитания 1) не делится ни на 2, ни на 7, ни на 11, ни на 13. Остается рассмотреть делимость на 5 и на 3.
  2002^4·500+2 − 1  оканчивается на 3 (последняя цифра зависит от степени периодично с периодом 4) и не делится на 5.
  2002²⁰⁰² − 1 ≡ (–1)²⁰⁰² – 1 = 0 (mod 3).

Ответ

Только на 3.

Источники и прецеденты использования

кружок
Место проведения	МЦНМО
класс
Класс	7
год
Год	2004/2005
занятие
Номер	25
задача
Номер	25.1