Задача 102701

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Через точку A общей хорды BC пересекающихся окружностей проведена прямая, пересекающая окружности в таких точках D и E соответственно, что прямая BD касается одной окружности, а прямая BE – другой. Продолжение хорды CD одной окружности пересекает другую окружность в точке F.
  а) Найдите отношение  BD : BE,  если  AD = 8  и  AE = 2.
  б) Сравните площади треугольников BDE и BDF.

Решение

  а) Пусть прямая ED пересекает окружности еще в точках K и L (см. рис.). По теореме о произведения отрезков хорд  AK·AE = AB·AC = AD·AL,  то есть
AK : AL = 4 : 1.
  Кроме того, из равенства  AK·(AL + LE) = AB·AC = (AK + KD)·AL,  получаем  AK·LE = KD·AL,  то есть  AK : AL = 4 : 1.  Значит, и  KD : LE = 4 : 1.
  По теореме о секущей и касательной  ^BD²/_BE² = ^DK·DE/_LE·DE = 4.

  б)  ∠EFC = ∠EBC = ∠BDC,  значит,  EF || DB.  Следовательно, у треугольников BDE и BDF равны высоты, опущенные на общее основание BD.

Ответ

а) 2 : 1,   б) одинаковы.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4148