Информация о задаче

Задача 102255

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
Темы:	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников ABC и ACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2:1 (считая от точки A), а $\angle$ BAC = 30^o.

Подсказка

Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.

Решение

Поскольку точки B и D лежат на окружности с диаметром AC, то $\angle$ ABC = $\angle$ ADC = 90^o. Обозначим через R радиус окружности. Пусть N — точка пересечения диагоналей AC и BD, M и K — проекции вершин соответственно B и D на AC. Тогда

CN = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ R, CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R,

MN = CN - CM = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3}}$ R - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ R = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$ R, BM = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{3}}{2}}$ .

Из прямоугольного треугольника BMN находим, что

BM = $\displaystyle \sqrt{BN^{2}-MN^{2}}$ = $\displaystyle \sqrt{\frac{3}{4}R^{2}-\frac{1}{36}R^{2}}$ = $\displaystyle {\frac{R\sqrt{7}}{3}}$ .

По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд BN^.ND = AN^.NC, откуда находим, что

ND = $\displaystyle {\frac{AN\cdot NC}{BN}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{2}{3}R\cdot\frac{2}{3}R}{\frac{R\sqrt{7}}{3}}}$ = $\displaystyle {\frac{8R}{3\sqrt{7}}}$ .

Из подобия прямоугольных треугольников BMN и DKN следует, что

$\displaystyle {\frac{BM}{DK}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{ND}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{R\sqrt{7}}{3}}{\frac{8R}{3\sqrt{7}}}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{8}}$ .

Следовательно,

$\displaystyle {\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta ACD}}}$ = $\displaystyle {\frac{BN}{ND}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{7}{8}}$ .

Ответ

${\frac{7}{8}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3682