Информация о задаче

Задача 102226

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
Темы:	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри прямоугольного треугольника помещены две окружности одинакового радиуса, каждая из которых касается одного из катетов, гипотенузы и другой окружности. Найдите радиусы этих окружностей, если катеты треугольника равны a и b.

Подсказка

Пусть $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ — острые углы данного треугольника. Выразите гипотенузу через искомый радиус и тригонометрические функции углов ${\frac{\alpha}{2}}$ и ${\frac{\beta}{2}}$ .

Решение

Пусть окружности радиусов r с центрами O₁ и O₂ касаются гипотенузы AB соответственно в точках M и N, BC = a, AC = b и при этом окружность с центром O₁ вписана в угол BAC. Обозначим AB = c, $\angle$ BAC = $\alpha$ , $\angle$ ABC = $\beta$ . Тогда

sin $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{a}{c}}$ , cos $\displaystyle \alpha$ = $\displaystyle {\frac{b}{c}}$ , sin $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{b}{c}}$ , cos $\displaystyle \beta$ = $\displaystyle {\frac{a}{c}}$ ,

$\displaystyle \tg$ $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{a}{b+c}}$ , $\displaystyle \tg$ $\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin \beta}{1+\cos \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{b}{a+c}}$ ,

AM = $\displaystyle {\frac{O_{1}M}{\tg \frac{\alpha}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r(b+c)}{a}}$ , BM = $\displaystyle {\frac{O_{2}N}{\tg \frac{\beta}{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{r(a+c)}{b}}$ .

Поскольку c = AB = AM + MN + NB и MN = O₁O₂ = 2r, то имеем уравнение

$\displaystyle {\frac{r(b+c)}{a}}$ + 2r + $\displaystyle {\frac{r(a+c)}{b}}$ = c,

откуда находим, что

r = $\displaystyle {\frac{c}{2+\frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{2ab+b^{2}+bc+a^{2}+ac}}$ = $\displaystyle {\frac{abc}{(a+b)^{2}+c(a+b)}}$ =

$\displaystyle {\frac{abc}{(a+b)(a+b+c)}}$ = $\displaystyle {\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{(a+b)(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}}$ .

Ответ

${\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{(a+b)(a+b+\sqrt{a^{2}+b^{2}})}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3665