Условие
Докажите, что если
(
x+
)(
y+
)
=1
, то
x+y=0
.
Решение
Умножая обе части данного неравенства на
x- , получаем, что
-y-=x- . Аналогично, умножая обе части данного равенства на
y- , приходим к равенству
-x-=y- .
Складывая полученные равенства, приходим к равенству
-(
x+y)
=x+y , откуда
x+y=0
.
Заметим, что функция
f(
x)
=x+ возрастает при
x
0
; при
x<0
она также возрастает, так как
f(
x)
=
и знаменатель, очевидно, убывает.
Поэтому при фиксированном
y у данного уравнения не больше одного
решения; с другой стороны,
x=-y – очевидно, рещение уравнения.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Всероссийская олимпиада по математике |
|
год |
|
Год |
1994 |
|
Этап |
|
Вариант |
5 |
|
класс |
|
Класс |
9 |
|
задача |
|
Номер |
94.5.9.1 |
