Площадь треугольника ABC равна 1. Пусть A₁, B₁, C₁ — середины сторон BC, CA, AB соответственно. На отрезках AB₁, CA₁, BC₁ взяты точки K, L, M соответственно. Чему равна минимальная площадь общей части треугольников KLM и A₁B₁C₁?

   Решение

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Точка M лежит на диаметре AB окружности. Хорда CD окружности проходит через точку M и пересекает прямую AB под углом в 45°.
Докажите, что величина  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой AB.

Решение

Пусть C₁ – точка, симметричная точке C относительно прямой AB. Точка C₁ лежит на данной окружности, так как сама окружность симметрична относительно диаметра AB. Поскольку  ∠C₁MD = 90°,  то   CM² + DM² = C₁M² + DM² = C₁D²,  а ∠C₁CD = ∠AMD = 45°.  Поэтому длина C₁D, а значит, и сумма  CM² + DM²  не зависит от выбора точки M.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования