Пусть O — центр вписанной окружности треугольника ABC, D — точка касания ее со стороной AC, B₁ — середина стороны AC. Докажите, что прямая B₁O делит отрезок BD пополам.

   Решение

Темы:    [ Системы тригонометрических уравнений и неравенств ] [ Возрастание и убывание. Исследование функций ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите систему уравнений:   .

Решение

Запишем систему в виде   .   Заметим, что функция  f(t) = sin t + t  строго возрастает. Действительно,  f '(t) = cost + 1 ≥ 0;  кроме того, производная принимает значение 0 при  t = π + 2kπ,  k ∈ Z, то есть промежутков, на которых  f '(t) = 0,  не существует. Следовательно, каждое свое значение функция  f(t) принимает только при одном значении переменной. Значит,  x = y = z,  x – y + z  = π,  откуда  x = y = z = π.

Ответ

(π, π, π).

Источники и прецеденты использования