Хорда окружности удалена от центра на расстояние h. В каждый из сегментов, стягиваемых хордой, вписан квадрат так, что две соседние вершины квадрата лежат на дуге, а две другие — на хорде или ее продолжении (рис.). Чему равна разность длин сторон этих квадратов?

   Решение

На урок физкультуры пришло 12 детей, все разной силы. Учитель 10 раз делил их на две команды по 6 человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все 10 раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?

   Решение

Тема:    [ Псевдоскалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

По трем прямолинейным дорогам с постоянными скоростями идут три пешехода. В начальный момент времени они не находились на одной прямой. Докажите, что они могут оказаться на одной прямой не более двух раз.

Решение

Пусть v(t) и  w(t) — векторы, соединяющие первого пешехода со вторым и третьим в момент t. Ясно, что v(t) = ta + b и  w(t) = tc + d. Пешеходы находятся на одной прямой тогда и только тогда, когда v(t)|w(t), т. е. v(t) w(t) = 0. Функция f (t) = v(t) w(t) = t²a c + t(a d + b c) + b d является квадратным трехчленом, причем f (0) 0. Квадратный трехчлен, не равный тождественно нулю, имеет не более двух корней.

Источники и прецеденты использования