Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть Q — вторая точка Брокара треугольника ABC, O — центр его описанной окружности, A₁, B₁ и C₁ — центры описанных окружностей треугольников CAQ, ABQ и BCQ. Докажите, что  A₁B₁C₁ ABC и O — первая точка Брокара треугольника A₁B₁C₁.

   Решение

---

Шоколадка имеет размер 4×10 плиток. За один ход разрешается разломать один из уже имеющихся кусочков на два вдоль прямолинейного разлома. За какое наименьшее число ходов можно разбить всю шоколадку на кусочки размером в одну плитку?

   Решение

---

Даны квадратные трёхчлены  f₁(x),  f₂(x), ...,  f₁₀₀(x) с одинаковыми коэффициентами при x², одинаковыми коэффициентами при x, но различными свободными членами; у каждого из них есть по два корня. У каждого трёхчлена f_i(x) выбрали один корень и обозначили его через x_i. Какие значения может принимать сумма  f₂(x₁) + f₃(x₂) + ... + f₁₀₀(x₉₉) + f₁(x₁₀₀)?

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 60824

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Пользуясь результатом задачи 60823, укажите в явном виде число x, которое удовлетворяет системе из задачи 60825.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60838  [Восточный Календарь]

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

В китайской натурофилософии выделяются пять первоэлементов природы – дерево, огонь, металл, вода и земля, которым соответствуют пять цветов – синий (или зелёный), красный, белый, чёрный и жёлтый. В восточном календаре с древних времен используется 12-летний животный цикл так, что каждому из 12 годов в цикле соответствует одно из животных. Кроме того, каждый год проходит под покровительством одной из стихий и окрашивается в один из цветов:
  годы, оканчивающиеся на 0 и 1 – годы металла (цвет белый);
  годы, оканчивающиеся на 2 и 3 – это годы воды (цвет чёрный);
  годы, оканчивающиеся на 4 и 5 – годы дерева (цвет синий);
  годы, оканчивающиеся на 6 и 7 – годы огня (цвет красный);
  годы, оканчивающиеся на 8 и 9 – годы земли (цвет жёлтый).
В 60-летнем календарном цикле каждое животное возникает пять раз. С помощью китайской теоремы об остатках объясните, почему оно все пять раз бывает разного цвета.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60729

Тема:   [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Докажите что если  (m, n) = 1,  то сравнение   a ≡ b (mod mn)  равносильно одновременному выполнению двух сравнений  a ≡ b (mod m)  и  a ≡ b (mod n).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60820

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

При каких целых n число  n² + 3n + 1  делится на 55?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60822

Темы:   [ Китайская теорема об остатках ] [ Неопределено ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что сравнение  a ≡ b (mod m₁m₂...m_n)  равносильно системе
    a ≡ b (mod m₁),
    a ≡ b (mod m₂),
        ...
    a ≡ b (mod m_n).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 19]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями