Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 323]
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Автобусные билеты имеют номера от 000000 до 999999. Билет называется счастливым, если сумма первых трёх цифр его номера равна сумме последних трёх его цифр. Докажите, что:
а) число всех счастливых билетов чётно;
б) сумма номеров всех счастливых билетов делится на 999.
а) На отрезке [0, 1] задано такое множество M, являющееся объединением нескольких отрезков, что расстояние между любыми двумя точками из M не равно 1/10. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не больше ½.
б) Верно ли это же утверждение, если заменить 1/10 на ⅕?
Пусть p – простое число, большее 2, а m/n = 1 + ½ + ⅓ + ... + 1/p–1. Докажите, что m делится на p.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
На окружности отмечено 2000 синих и одна красная точка. Рассматриваются всевозможные выпуклые многоугольники с вершинами в этих точках. Каких многоугольников больше – тех, у которых есть красная вершина, или тех, у которых нет?
На окружности даны точки A1, A2,..., A16. Построим все возможные выпуклые многоугольники, вершины которых находятся среди точек A1, A2,..., A16. Разобьём эти многоугольники на две группы. В первую группу будут входить все многоугольники, у которых A1 является вершиной. Во вторую группу входят все многоугольники, у которых A1 в число вершин не входит. В какой группе больше многоугольников?
Страница:
<< 1 2
3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 323]
Фильтр
