На плоскости лежат две одинаковые фигуры, имеющие форму буквы ``Г'' . Концы коротких палочек у букв ``Г'' обозначим через A и A'. Длинные палочки разделены на n равных частей точками a₁, ..., a_{n - 1}; a'₁, ..., a'_{n - 1} (точки деления нумеруются от концов длинных палочек). Проводятся прямые Aa₁, Aa₂, ..., Aa_{n - 1}; A'a₁, A'a'₂, ..., A'a'_{n - 1}. Точку пересечения прямых Aa₁ и A'a₁ обозначим через X₁, прямых Aa₂ и A'a₂ — через X₂ и т.д. Доказать, что точки X₁, X₂, ..., X_{n - 1} образуют выпуклый многоугольник.

Примечание Problems.Ru: Предполагается, что данные фигуры совмещаются движением, сохраняющим ориентацию.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]      

Прямая l касается вписанной окружности треугольника ABC. Пусть , , — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что a + b + c = 2S_ABC.

Прислать комментарий

Решение

Прямая l касается вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC. Пусть , , — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вневписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что - a + b + c = 2S_ABC.

Прислать комментарий

Решение

Пусть d_ab и d_ac — расстояния от вершин B и C до прямой l_a, касающейся внешним образом окружностей S_b и S_c (и отличной от прямой BC); числа d_bc и d_ba, d_cb и d_ca определяются аналогично. Докажите, что d_abd_bcd_ca = d_acd_bad_cb.

Прислать комментарий

Решение

Отмечено 100 точек – N вершин выпуклого N-угольника и  100 – N  точек внутри этого N-угольника. Точки как-то обозначены, независимо от того, какие являются вершинами N-угольника, а какие лежат внутри. Известно, что никакие три точки не лежат на одной прямой, а никакие четыре – на двух параллельных прямых. Разрешается задавать вопросы типа: чему равна площадь треугольника XYZ (X, Y, Z – из числа отмеченных точек). Докажите, что 300 вопросов достаточно, чтобы выяснить, какие точки являются вершинами N-угольника, и чтобы найти его площадь.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 19]