Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]

Задача 57783

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Пусть ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ) — абсолютные барицентрические координаты точки X; M — центр масс треугольника ABC. Докажите, что 3 $\overrightarrow{XM}$ = ( $\alpha$ - $\beta$ ) $\overrightarrow{AB}$ + ( $\beta$ - $\gamma$ ) $\overrightarrow{BC}$ + ( $\gamma$ - $\alpha$ ) $\overrightarrow{CA}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 78542

Темы:	[	Центр масс	]
Темы:	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дана система из n точек на плоскости, причём известно, что для любых двух точек данной системы можно указать движение плоскости, при котором первая точка перейдёт во вторую, а система перейдёт сама в себя. Доказать, что все точки такой системы лежат на одной окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 73778

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57754

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = $\alpha$ и BL : LC = AN : ND = $\beta$ . Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = $\alpha$ и KP : PM = $\beta$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 57755

Тема:

[

Теорема о группировке масс

]

Сложность: 5
Классы: 9

Найдите внутри треугольника ABC точку O, обладающую следующим свойством: для любой прямой, проходящей через O и пересекающей сторону AB в точке K и сторону BC в точке L, выполнено равенство p ${\frac{AK}{KB}}$ + q ${\frac{CL}{LB}}$ = 1, где p и q — данные положительные числа.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 79]