Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 367]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
В банде 50 бандитов. Все вместе они ни в одной разборке ни
разу не участвовали, а каждые двое встречались на разборках
ровно по разу. Докажите, что один из бандитов был
не менее, чем на восьми разборках.
Подсказка
Покажите, что в одной из разборок Р участвовало не менее восьми
бандитов; с каждым из них бандит, не участвовавший в
разборке Р, должен встретиться на разных разборках.
Решение
Допустим противное. Выберем бандита А. Он участвовал не
более, чем в 7 разборках, причем
каждый из оставшихся бандитов присутствовал
ровно на одной из этих разборок.
Всего бандитов (без бандита А) 49, поэтому хотя бы в
одной из разборок (обозначим ее через Р) участвовало не меньше 7
бандитов, всего же на этой разборке (вместе с А) участвовало не
меньше 8 бандитов. Возьмем бандита Б, не участвовавшего в
разборке Р. Он искомый, так как он участвовал в разборках со всеми
бандитами разборки Р, причем все эти разборки различны. Действительно,
пусть Х и У - бандиты, участвовавшие в разборке Р, а
С - разборка, в которой участвовали Б, Х и У.
Тогда Х и У участвовали в двух разборках Р и С,
что противоречит условию задачи.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может записать число, которое делится на 2001.
Решение
См. задачу 34968.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Имеется 2k + 1 карточек, занумерованных числами от 1 до 2k + 1. Какое наибольшее число карточек можно выбрать так, чтобы ни один из извлечённых номеров не был равен сумме двух других извлечённых номеров?
Решение
Если взять все карточки с нечётными номерами (их k + 1) , то условие будет выполнено. Если взять k + 2 карточки, то, вычитая из наибольшего их номера N все остальные, мы получим k + 1 различное число. Все эти числа не превышают 2k, поэтому хотя бы два из них совпадут с номерами на
k + 2 выбранных карточках. По крайней мере один из этих двух номеров не равен N/2.
Ответ
k + 1 карточку.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Даны 1002 различных числа, не превосходящих
2000. Докажите, что из них можно выбрать три таких числа, что
сумма двух из них равна третьему. Останется ли это утверждение
справедливым, если число 1002 заменить на 1001?
Решение
Докажем по индукции, что если из чисел от 1 до
2
n - 2
(
n 
3) выбрано
n + 1 различное число, то из них можно
выбрать три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.
При
n = 3 утверждение задачи очевидно. Предположим, что
утверждение доказано для
n =
k и рассмотрим случай
n =
k + 1. Если
k + 1 из выбранных чисел попали в промежуток от 1 до 2
k - 2, то
применимо предположение индукции. Если же это не так, то
обязательно должны быть выбраны числа 2
k - 1 и 2
k. Другие
k
выбранных чисел находятся на отрезке от 1 до 2
k - 2. Разбивая
этот отрезок на пары (1, 2
k - 2), (2, 2
k - 3),..., (
k - 1,
k),
получаем, что одна из пар состоит из выбранных чисел. Но тогда
они дают в сумме 2
k - 1. Если число 1002 заменить на 1001, то
утверждение перестанет быть верным. Примером может служить набор
1000, 1001,..., 2000.
Докажите, что из 11 различных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две такие, которые совпадают в бесконечном числе разрядов.
Подсказка
Для каждого разряда найдутся две дроби, совпадающие в этом разряде.
Решение
Выпишем 11 дробей друг под другом, чтобы цифры из одного разряда оказались в одном столбце. В каждом столбце 11 цифр, поэтому среди этих 11 цифр найдутся две равные. Пусть эти равные цифры находятся в k-й и m-й дробях. Поставим в соответствие этому столбцу пару чисел (k, m). Таким образом, каждому столбцу соответствует пара чисел от 1 до 11. Поскольку число пар таких чисел конечно, а число столбцов бесконечно, хотя бы одна из пар (k0, m0) была поставлена в соответствие бесконечному числу столбцов. Это означает, что дроби с номерами k0, m0 совпадают в бесконечном числе разрядов.
Страница:
<< 19 20 21 22
23 24 25 >> [Всего задач: 367]
Фильтр
