Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 127]      

Астрономический прожектор освещает октант (трёхгранный угол, у которого все плоские углы прямые). Прожектор помещён в центр куба. Можно ли его повернуть таким образом, чтобы он не освещал ни одной вершины куба?

Прислать комментарий

Решение

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости проведено 3000 прямых, причём никакие две из них не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке. По этим прямым плоскость разрезана на куски. Доказать, что среди кусков найдётся не менее: а) 1000 треугольников, б) 2000 треугольников.

Прислать комментарий

Решение

На пол положили правильный треугольник ABC, выпиленный из фанеры. В пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от пола. Первый гвоздь делит сторону AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A, второй делит сторону BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B. В каком отношении делит сторону AC третий гвоздь?

Прислать комментарий

Решение

Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 127]