ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 123]      



Задача 67252

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Четность и нечетность ]
[ Наглядная геометрия в пространстве ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?

Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.
Прислать комментарий     Решение


Задача 98270

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Докажите, что среди 50 человек найдутся двое, у которых чётное число общих знакомых (быть может, 0) среди остальных 48 человек.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 116699

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Сочетания и размещения ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 11

На собрание пришло n человек  (n > 1).  Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.
  а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
  б) Покажите, что n может быть больше 4.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109726

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Обход графов ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами. При этом из каждого города выходит хотя бы три дороги.
Докажите, что существует циклический маршрут, длина которого не делится на 3.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109736

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Раскраски ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В стране 2001 город, некоторые пары городов соединены дорогами, причём из каждого города выходит хотя бы одна дорога и нет города, соединённого дорогами со всеми остальными. Назовём множество городов D доминирующим, если каждый не входящий в D город соединён дорогой с одним из городов множества D. Известно, что в каждом доминирующем множестве хотя бы k городов. Докажите, что страну можно разбить на  2001 – k  республик так, что никакие два города из одной республики не будут соединены дорогой.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 123]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .