ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 406]      



Задача 58307

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Раскраски ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что если плоскость разбита на части прямыми и окружностями, то получившуюся карту можно раскрасить в два цвета так, что части, граничащие по дуге или отрезку, будут разного цвета.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78680

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

На окружности радиуса 1 отмечена точка O и из неё циркулем делается засечка вправо радиусом l. Из полученной точки O1 в ту же сторону тем же радиусом делается вторая засечка, и так делается 1968 раз. После этого окружность разрезается во всех 1968 засечках, и получается 1968 дуг. Сколько различных длин дуг может при этом получиться?
Прислать комментарий     Решение


Задача 78714

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из натуральных чисел составляются последовательности, в которых каждое последующее число больше квадрата предыдущего, а последнее число в последовательности равно 1969 (последовательности могут иметь разную длину). Доказать, что различных последовательностей такого вида меньше чем 1969.

Прислать комментарий     Решение

Задача 34952

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Числа Фибоначчи ]
[ Системы счисления (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы нескольких различных членов последовательности Фибоначчи. (Последовательность Фибоначчи {an} определяется условиями a1=1, a2=2, an+2=an+1+an.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 78240

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Дан остроугольный треугольник A0B0C0. Пусть точки A1, B1, C1 — центры квадратов, построенных на сторонах B0C0, C0A0, A0B0. С треугольником A1B1C1 делаем то же самое. Получаем треугольник A2B2C2 и т.д. Доказать, что $ \Delta$An + 1Bn + 1Cn + 1 пересекает $ \Delta$AnBnCn ровно в 6 точках.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 406]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .