Задача 78680

Темы:    [ Индукция в геометрии ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

На окружности радиуса 1 отмечена точка O и из неё циркулем делается засечка вправо радиусом l. Из полученной точки O₁ в ту же сторону тем же радиусом делается вторая засечка, и так делается 1968 раз. После этого окружность разрезается во всех 1968 засечках, и получается 1968 дуг. Сколько различных длин дуг может при этом получиться?

Решение

Докажем индукцией по n , что число различных дуг после n засечек не превосходит 3 . Для n=2 это очевидно. Обозначим через A_k засечку с номером k . Пусть сделано n засечек и точка A_n попала на ДУГУ A_kA_l . Тогда точка A_n-1 попадает на дугу A_k-1A_l-1 . Поэтому при k,l 1 новых длин не появится, и требуемое утверждение доказано. Предположим теперь, что, например, l=1 . Докажем, что тогда длина любой дуги A_pA_q между соседними засечками равна длине одной из дуг A_kA₁ , A_nA₁ , A₁A_s , где A_s – ближайшая к A₁ засечка, отличная A_n . Действительно, при p,q 1 длина дуги A_pA_q равна длине дуги A_p-1A_q-1 , а между засечками A_p-1 и A_q-1 нет других засечек, кроме возможно, A_n . Таким образом за конечное число шагов мы приходим к одной из рассматриваемых трех дуг.

Ответ

не более трех.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	31
Год	1968
вариант
	1
Класс	9
Тур	2
задача
Номер	2