Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 160]      

Имеется 555 гирь весом: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г,...555 г. Разложить их на 3 равные по весу кучи.

Решение

Девять гирь весом n, n + 1, ..., n + 8 можно разложить на три равные по весу кучи: 1) n, n + 4, n + 8; 2) n + 1, n + 5, n + 6; 3) n + 2, n + 3, n + 7. Это позволяет разложить на три равные по весу кучи гири весом 1, 2, ..., 549 = 61 ^. 9. Оставшиеся шесть гирь весом 550, 551, ..., 555 можно разложить на три равные по весу кучи следующим образом: 1) 550 и 555; 2) 551 и 554; 3) 552 и 553.

Прислать комментарий

В наборе имеется 100 гирь, каждые две из которых отличаются по массе не более чем на 20 г. Доказать, что эти гири можно положить на две чашки весов, по 50 штук на каждую, так, чтобы одна чашка весов была легче другой не более чем на 20 г.

Решение

Разобьём гири на пары произвольным образом. Первую пару положим на разные чашки весов произвольно. Затем будем последовательно класть пары гирь, кладя каждый раз более тяжёлую гирю на более лёгкую чашку. Предположим, что на чашках лежат грузы a и a + α, где 0 ≤ α ≤ 20, и мы положили гири b + β и b, где 0 ≤ β ≤ 20. Тогда разность весов грузов, лежащих на чашках, равна |α − β| ≤ 20.

Прислать комментарий

У продавца имеются чашечные весы с неравными плечами и гири. Сначала он взвешивает товар на одной чашке, затем – на другой и берёт средний вес. Не обманывает ли он?

Решение

Пусть мы на левую чашку весов положили товар весом в 1 кг, а на другую чашу для равновесия – гири весом в a кг, то есть в a раз больше. Если мы переложим товар на правую чашку, то для равновесия слева придется положить вес в a раз меньший, то есть ¹/_a кг. Таким образом, продавец возьмёт деньги за  ½ (a + ¹/_a) кг,  что, согласно неравенству Коши, больше 1 кг.

Ответ

Обманывает.

Прислать комментарий

Имеется 68 монет, причём известно, что любые две монеты различаются по весу.
За 100 взвешиваний на двухчашечных весах без гирь найти самую тяжелую и самую лёгкую монеты.

Решение

  Разобьём монеты на 34 пары. За 34 взвешивания сравним монеты внутри пар и более тяжёлые отложим в одну кучу, а более лёгкие – в другую.
  Из "тяжёлой" кучи за 33 взвешивания выделим самую тяжёлую монету (при каждом взвешивании сравниваем две монеты, лёгкую отбрасываем, а тяжёлую сравниваем со следующей). Точно так же за 33 взвешивания из "лёгкой" кучи выделим самую лёгкую монету.  34 + 33 + 33 = 100.

Прислать комментарий

Есть 40 гирек массой 1 г, 2 г, ..., 40 г. Из них выбрали 10 гирь чётной массы и положили на левую чашу весов. Затем выбрали 10 гирь нечётной массы и положили на правую чашу весов. Весы оказались в равновесии. Докажите, что на какой-нибудь чаше есть две гири с разностью масс в 20 г.

Решение

Разобьём гирьки на пары с разностью 20 г:  (1, 21), (2, 22), ..., (20, 40).  Если на весах лежит ровно по одной гирьке из каждой пары, то (независимо от выбора гирек в парах) вес нечётной чаши делится на 20, а вес чётной не делится. Противоречие.

Прислать комментарий

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 160]