Страница:
<< 25 26 27 28
29 30 31 >> [Всего задач: 195]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
|
Назовём тройку натуральных чисел (a, b, c) квадратной, если они образуют арифметическую прогрессию (именно в таком порядке), число b взаимно просто с каждым из чисел a и c, а число abc является точным квадратом. Докажите, что для любой квадратной тройки найдётся другая квадратная тройка, имеющая с ней хотя бы одно общее число. (Тройка (c, b, a) новой тройкой не считается.)
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Существует ли такая бесконечная последовательность действительных чисел $a_1$, $a_2$, $a_3$, ..., что $a_1 = 1$ и для всех натуральных $k$ выполняется равенство
$$a_k = a_{2k} + a_{3k} + a_{4k} + \ldots ?$$
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
В любой арифметической прогрессии a, a + d, a + 2d, ..., a + nd, ..., составленной из натуральных чисел, есть бесконечно много членов, в разложении которых на простые множители входят в точности одни и те же простые числа. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение a/d рационально. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
p простых чисел a1, a2, ..., ap образуют возрастающую арифметическую прогрессию и a1 > p.
Доказать, что если p – простое число, то разность прогрессии делится на p.
Страница:
<< 25 26 27 28
29 30 31 >> [Всего задач: 195]
Фильтр
