Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

Найдите максимальное число N, для которого существуют такие N последовательных натуральных чисел, что сумма цифр первого числа делится на 1, сумма цифр второго числа – на 2, сумма цифр третьего числа – на 3, ..., сумма цифр N-го числа – на N.

   Решение

На отрезке  [0, 1]  числовой оси расположены четыре точки: a, b, c, d.
Докажите, что найдётcя такая точка x, принадлежащая  [0, 1],  что  

   Решение

Натуральные числа m и n взаимно просты (не имеют общего делителя, отличного от единицы). Дробь     можно сократить на число d.
Каково наибольшее возможное значение d?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 2458]      

Доказать: произведение
  а) двух нечётных чисел нечётно;
  б) чётного числа с любым целым числом чётно.

Прислать комментарий

Решение

Известно, что  35! = 10333147966386144929*66651337523200000000.  Найдите цифру, заменённую звездочкой.

Прислать комментарий

Решение

За круглым столом сидят мальчики и девочки. Докажите, что количество пар соседей разного пола чётно.

Прислать комментарий

Решение

Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 1999?

Прислать комментарий

Решение

а) На столе лежит 21 монета решкой вверх. За одну операцию разрешается перевернуть любые 20 монет. Можно ли за несколько операций добиться, чтобы все монеты легли орлом вверх?
б) Тот же вопрос, если монет 20, а разрешается переворачивать по 19.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 2458]