ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 167]      



Задача 30842

Темы:   [ Средние величины ]
[ Троичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 9,10

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  3k – 1  можно выбрать 2k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30843

Темы:   [ Средние величины ]
[ Троичная система счисления ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что из набора 0, 1, 2, ...,  ½ (3k – 1)  можно выбрать 2k чисел так, чтобы никакое из них не являлось средним арифметическим двух других выбранных чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73743

Темы:   [ Средние величины ]
[ Линейные неравенства и системы неравенств ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Известно, что разность между наибольшим и наименьшим из чисел x1, x2, x3, ..., x9, x10 равна 1. Какой  а) наибольшей;  б) наименьшей может быть разность между наибольшим и наименьшим из 10 чисел x1,  ½ (x1 + x2),  ⅓ (x1 + x2 + x3),  ...,  1/10 (x1 + x2 + ... + x10)?
в) Каков будет ответ, если чисел не 10, а n?

Прислать комментарий     Решение

Задача 73779

Темы:   [ Средние величины ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Даны два набора из n вещественных чисел:  a1, a2, ..., an  и  b1, b2, ..., bn.  Докажите, что если выполняется хотя бы одно из двух условий:
  а) из  ai < aj  следует, что  bi ≤ bj;
  б) из  ai < a < aj,  где  a = 1/n (a1 + a2 + ... + an),  следует, что  bi ≤ bj,
то верно неравенство   n(a1 b1 + a2b2 + ... + anbn) ≥ (a1 + a2 + ... + an)(b1 + b2 + ... + bn).

Прислать комментарий     Решение

Задача 116259

Тема:   [ Средние величины ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Из гирек весами 1 г, 2 г, ..., N г требуется выбрать несколько (больше одной) с суммарным весом, равным среднему весу оставшихся гирек. Докажите, что
  а) это можно сделать, если  N + 1  – квадрат целого числа.
  б) если это можно сделать, то  N + 1  – квадрат целого числа.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 167]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .