Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

   Решение

Капитан нашёл Остров Сокровищ, имеющий форму круга. На его берегу растут шесть пальм. Капитан знает, что клад закопан в середине отрезка, соединяющего ортоцентры треугольников ABC и DEF, где A, B, C, D, E, F – эти шесть пальм, но он не знает, какой буквой обозначена каждая пальма. Докажите, что тем не менее он может найти клад с первой же попытки.

   Решение

Какой остаток даёт  x + x³ + x⁹ + x²⁷ + x⁸¹ + x²⁴³  при делении на  x – 1?

   Решение

Мальвина записала равенство  МА·ТЕ·МА·ТИ·КА = 2016000  и предложила Буратино заменить одинаковые буквы одинаковыми цифрами, разные буквы – разными цифрами, чтобы равенство стало верным. Есть ли у Буратино шанс выполнить задание?

   Решение

Докажите, что ни для каких векторов a, b, c не могут одновременно выполняться три неравенства

|a| < |b − c|,  |b| < |c − a|,  |c| < |a − b|.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB² + BC² + CD² + DA²AC² + BD², причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что из пяти векторов всегда можно выбрать два так, чтобы длина их суммы не превосходила длины суммы оставшихся трех векторов.

Прислать комментарий

Решение

Из точки O на плоскости проведено несколько векторов, сумма длин которых равна 4. Доказать, что можно выбрать несколько векторов (или, быть может, один вектор), длина суммы которых больше 1.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что ни для каких векторов a, b, c не могут одновременно выполняться три неравенства

|a| < |b − c|,  |b| < |c − a|,  |c| < |a − b|.

Прислать комментарий

Решение

Из центра правильного 25-угольника проведены векторы во все его вершины.
Как надо выбрать несколько векторов из этих 25, чтобы их сумма имела наибольшую длину?

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]