Задача 57701

Тема:    [ Неравенства с векторами ]

Сложность: 3 Классы: 9

Условие

Даны точки A, B, C и D. Докажите, что AB² + BC² + CD² + DA²AC² + BD², причем равенство достигается, только если ABCD — параллелограмм.

Решение

Пусть a = , b = и  c = . Тогда = a + b + c, = a + b и  = b + c. Ясно также, что |a|² + |b|² + |c|² + |a + b + c|² - |a + b|² - |b + c|² = |a|² + 2(a,c) + |c|² = |a + c|² 0. Равенство достигается, только если a = - c, т. е. ABCD — параллелограмм.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	13
Название	Векторы
Тема	Векторы
параграф
Номер	3
Название	Неравенства
Тема	Неравенства с векторами
задача
Номер	13.019