Каталог по темам

Выбрано 13 задач

Доказать, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h₁, h₂, h₃, то объём тетраэдра не меньше, чем h₁h₂h₃/3.

Решение

Правильный многоугольник A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что A₁X² + ... + A_nX² = n(R² + d²), где d = OX.

Решение

Автор: Токарев С.И.

Можно ли в клетки таблицы 9×9 записать натуральные числа от 1 до 81 так, чтобы сумма чисел в каждом квадрате 3×3 была одна и та же?

Решение

Обозначим через L(m) длину периода дроби ¹/_m. Докажите, что если (m, 10) = 1, то L(m) является делителем числа φ(m).

Решение

Докажите, что если (m, 30) = 1, то число, состоящее из цифр периода дроби ¹/_m, делится на 9.

Решение

Сторона основания правильной четырёхугольной пирамиды равна a . Боковая грань образует с плоскостью основания угол 45^o . Найдите высоту пирамиды.

Решение

а) Числа a, b, c являются тремя из четырёх корней многочлена x⁴ – ax³ – bx + c. Найдите все такие многочлены.
б) Числа a, b, c являются корнями многочлена x⁴ – ax³ – bx + c. Найдите все такие многочлены.

Решение

Круг разделён на шесть секторов, в каждом из которых стоит фишка. Разрешается за один ход сдвинуть любые две фишки в соседние с ними сектора.
Можно ли с помощью таких операций собрать все фишки в одном секторе?

Решение

Решить систему уравнений:
x³ – y³ = 26,
x²y – xy² = 6.

Решение

Пусть (n, 10) = 1, m < n, (m, n) = 1, и t – наименьшее число, при котором 10^t – 1 делится на n.
Докажите, что t кратно длине периода дроби ^m/_n.
Будет ли это длина периода?

Решение

Автор: Фольклор

Найдите все неотрицательные решения системы уравнений:
x³ = 2y² – z,
y³ = 2z² – x,
z³ = 2x² – y.

Решение

Решить систему уравнений:
3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
x + y + z = 2b,
x² + y² + z² = b².

Решение

Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?

Решение

Задача 78183

Задача 67375

Задача 86991

Задача 86992

Задача 66612